FILOSOFIA  TEORETICA

 

Introduzione/Argomento Il saggio assume il significato di contributo all’analisi del rapporto fra cultura scientifica e cultura umanistica. Ma è anche un ‘indagine sul significato di meccanicismo e, in particolare, di quella meccanicità di cui viene superficialmente accusata la tecnica matematica. E’ tutto ciò ma soprattutto l’analisi di una scienza, dei suoi metodi, dei suoi oggetti, delle sue eresie e della sua ‘crisi’ che conosciuta come CRISI DEI FONDAMENTI, esplode negli ultimi decenni del secolo diciannovesimo e si amplia nei primi anni del secolo successivo, con ripetute fondazioni e demolizioni con cui si attuano processi di secolarizzazione e di liberazione che si intrecciano con la rivoluzione delle avanguardie

 

HOME

 

Pensatori citati: Bonaventura Cavalieri, J.L.Borges, A. L. Causchy, K. Weierstrass, A. Robinson, A. Bolyai, P. de Fermat, J.Ramoneda, G. W. Leibniz, N. Copernico,  J. Monod, E. Cassirer, I. Strawinsky, K. Popper, D. Hume. I. Newton, R. G. Boskovich, G. Frege, E. Mach, A. Weyll, B. Russell, Epitteto, L. Wittgenstein, Crozio, S. Kierkegaard, J. J. Rousseau, F. Nietzche, J. G. Herder, G. Berkeley

 

Una storia di eresie

 Una filigrana di eresie percorre la storia canonica della matematica.
Contemporaneo di Galilei, Bonaventura Cavalieri inventò un metodo di calcolo, in cui una linea era una somma infinita di punti, un’area una somma infinita di segmenti e un volume una somma infinita di piani. La sua opera, nota come geometria degli indivisibili, fu giudicata come un tentativo di raccogliere l’acqua con un setaccio. Dice Borges, vero nume tutelare di tutte le eresie.

La vasta biblioteca è inutile. A rigore, basterebbe un sol volume, di formato comune, stampato in corpo nove o in corpo dieci, e composto d’un numero infinito di fogli infinitamente sottili. ( Cavalieri, al principio del secolo XVII, affermò che ogni corpo solido è la sovrapposizione d’un numero infinito di piani).

Cavalieri incredibilmente ottenne grandi risultati. Oltre che confermare risultati già noti, calcolò lunghezze, aree e volumi mai prima calcolati. Nonostante questi successi non riuscì a convincere i contemporanei: quegli strani indivisibili puzzavano troppo di zolfo. Inutilmente si difese sostenendo i suoi indivisibili erano solo scorciatoie.
Gli indivisibili, queste fantomatiche entità che erano e non erano, ma dei quali si doveva comunque parlare, furono presto abbandonati. Con la nuova geometria algebrizzata di Fermat e di Cartesio, gli indivisibili scomparvero, ma nacquero gli infinitesimi loro stretti parenti. La geometria era cambiata, ma anche nella nuova si tornò a parlare di quantità infinitamente piccole e di aree calcolate come somme di infiniti segmenti. Il sospetto che aveva afflitto gli indivisibili si trasferì sui non meno eretici infinitesimi; un sospetto che durò almeno due secoli fino a che Causchy e Weierstrass non inventarono una procedura che otteneva gli stessi risultati, ma non parlava di infinitesimi. L’analisi poté essere trascritta e redenta dal rigore che il nuovo metodo permetteva.
Nonostante ciò, molti manuali d’ingegneria continuarono spesso a lavorare con i troppo comodi infinitesimi fino a che, nella seconda metà di questo secolo, quegli stessi infinitesimi, che secondo Leibniz costituivano la grana fine dell’universo accessibile solo all’intelligenza infinita di Dio, si presero la rivincita, divenendo legittimi e non eretici cittadini nei mondi dell’analisi non standard inventata ( o scoperta o costruita, o fondata) da Robinson.

E che dire delle geometrie non euclidee?
Questo tormentone proveniva da un dubbio tanto antico quanto irrisolto circa la validità dell’assioma[i] delle parallele formulato da Euclide. L’assioma, che recita che se P è un punto e a una retta, per P passa una sola parallela ad a, apparve subito sospetto. E neppure tanto evidente doveva essere apparso a Euclide che lo aveva introdotto, non con gli altri assiomi, ma dopo aver dimostrato una trentina di teoremi. Questa strana collocazione fu subito interpretata come se lo stesso Euclide volesse far capire di averlo introdotto solo nel quando non poteva più farne a meno.
L’idea che il mondo non fosse euclideo, era così eretica che non venne neppure presa in considerazione. La dimostrazione dell’assioma divenne, così, l’ossessione della storia della matematica. Nei secoli si accumularono oltre mille ufficiali e inutili tentativi di soluzione e non furono pochi i matematici che dedicarono alla soluzione del problema la loro vita. Wolfang Boylai, padre di quel Giovanni che diede una svolta definitiva all’enigma, fu fra questi.
Una mezza svolta l’aveva già impressa il matematico Gerolamo Saccheri di Pavia. Questi negò l’assioma delle parallele e sviluppò un nuovo sistema. Saccheri sperava di imbattersi in un “assurdo” che dimostrasse che Euclide aveva ragione e lo volle così tanto che finì per trovarlo anche dove non c’era.
Ciò che Saccheri aveva iniziato era una geometria non euclidea. Dopo di lui, altri, tra cui Lambert, fecero intravedere brandelli di questo nuovo universo. Gauss lo costruì effettivamente, ma non volle renderlo pubblico e infine Boylai nel 1825 e Lobacevskiy nel 1826, esposero una nuova geometria che partiva dall’assunzione dell’esistenza di due parallele a una data retta.[ii]
Boylai comunicò le sue scoperte al padre commentando: “Aggiungo solo questo: Ho creato un universo completamente nuovo dal nulla.”
I “nuovi” ed eretici mondi furono accettati dagli accademici con inconsueta calma (o rassegnazione). Ciò accadde perché il problema era ormai maturo e anche perchè Gauss li approvò con entusiasmo. L’autorità e il genio di Gauss[iii] erano così grandi da poter imporre ai dotti custodi dell’ortodossia (pur fra amare masticazioni) anche una simile rivoluzione.
Le implicazioni matematiche, filosofiche, fisiche dell’eresia non euclidea furono e rimangono enormi: Ma soprattutto nuova furono l’apertura mentale e lo spirito di libertà che una simile rivoluzione riuscì a suscitare. Com’era effettivamente il mondo? Euclideo o non euclideo? Come si doveva interpretare questa pluralità di geometrie? Come si doveva concepire lo spazio? Le geometrie non euclidea non aprirono solo una porta nei muri dell’ortodossia, ma li sfondarono. 
Mentre la geometria veniva così rivoluzionata, l’analisi stava procurando non pochi grattacapi ai suoi adepti. L’elaborazione della neonata teoria delle classi proposta da Cantor procurava più sospetti che certezze. Un’inquietudine che sfociò in una vera guerra che aveva per oggetto la stessa natura degli enti e dei ragionamenti matematici. Quali ragionamenti potevano essere ritenuti sicuri? Quali entità potevano essere accettate? Non fu solo una guerra tra normalizzatori e rivoluzionari. Fu una guerra fra filosofie rivali e fra mentalità irriducibili.

Alla base della costruzione di Cantor sta il concetto di corrispondenza biunivoca. Due insiemi sono in corrispondenza biunivoca ( e quindi equinumerosi, equipotenti, ecc. )quando è possibile far corrispondere a ogni elemento di un insieme uno e un solo elemento dell’altro e viceversa. Con questa definizione è facile capire che l’insieme dei numeri pari è equipotente a quello dei numeri dispari. Non è necessario saper contare per verificare una corrispondenza biunivoca. Se su tavola abbiamo messo un coltello accanto a ogni piatto, siamo sicuri che a ogni piatto corrisponde un coltello e a ogni coltello un piatto e che l’insieme dei piatti è equinumeroso a quello dei coltelli.
Assegnare una cardinalità ad un insieme finito non da nessun problema. Le difficoltà nascono con gli insiemi infiniti.
Attenzione! Qui si parla di insieme con infiniti elementi, non di infinito potenziale o infinito in fieri, non di quell’infinito che citiamo quando intendiamo significare che il processo è senza fine, ma dell’infinito attuale: di un insieme che contiene infiniti oggetti.
Cantor giunge alla definizione di insieme infinito proprio tramite il concetto di cardinalità. Prendiamo un insieme finito, ad esempio quello degli umani, e un suo sottoinsieme, quello delle donne. Potremo farli corrispondere in tutte le maniere che vogliamo, ma non otterremo mai una corrispondenza biunivoca, poiché l’insieme delle donne è solo una parte (sottoinsieme) dell’insieme che comprende uomini e donne. Quando, invece, si lavora con insiemi infiniti accade qualcosa di molto strano in cui si era già imbattuto Galileo.

Se consideriamo un insieme infinito, quello degli interi ed un suo sottoinsieme quello dei numeri pari, si può facilmente verificare come possano essere messi in corrispondenza biunivoca, accoppiando: 1 con 2, 2 con 4, 3 con 6 e così via, come indicato in figura.

 

 Questo risultato è sconcertante; ci dice che i due gruppi, un insieme e un suo sottoinsieme, sono equinumerosi. Galileo si ritirò di fronte a questa assurdità, Cantor, al contrario, la trasformò nella definizione dell’infinito attuale; un insieme è infinito, ci dice, infatti, Cantor se ciascuno dei suoi membri può essere posto in corrispondenza biunivoca con ciascun elemento di un suo sottoinsieme. Il che non significa altro che per gli insiemi infiniti il tutto è uguale a una sua parte.
Con questo risultato, il dado era tratto, l’infinito attuale, lo sfuggente e misterioso infinito giudicato di volta in volta impensabile, opera di fantasia, mostruosità, era stato ingabbiato in una definizione. Una definizione che insinua molti dubbi: quali proprietà, quali enti, quali ragionamenti possono essere impunemente usati in questo nuovo, immenso e sconosciuto dominio?

Qual è il rapporto fra l'infinità dei numeri naturali e quella dei numeri razionali? L’intuizione ci porterebbe a credere che i secondi siano infinitamente più numerosi dei primi; esiste, infatti, un solo numero 2 mentre sono infinite le frazioni con numeratore 2 ( 1/2, 2/2, 3/2) e infinite quelle con numeratore 2. Se i numeri naturali possono essere rappresentati da una infinita fila di alberi, l'insieme dei razionali sembra una foresta incantata che non ammette sentieri. I numeri naturali sono ordinati nella serie:

1 ,2 , 3, .....

in cui ogni numero ha un unico e ben definito antecedente e un unico e ben definito successore; ma che dire dei frazionari?  Nessuna frazione ammette un immediato successore né un immediato antecedente. 1/3 non è l'immediato antecedente di 1/2 né lo 3/5 e neppure 6/10. Per qualsiasi frazione inferiore ad 1/2, se ne potrà sempre trovare infinite superiori alla frazione pensata e inferiori a 1/2 Sembra proprio che l'insieme dei numeri frazionari non ammetta né ordine né bussola e che in quella babelica foresta tra due alberi qualsiasi esistano sempre altre infinite piantagioni.
La stupefacente impresa di Cantor sta nell’aver pensato e dimostrato che l’infinità dei naturali è uguale a quella dei razionali perchè a ogni numero naturale è possibile far corrispondere biunivocamente un razionale. Ciò che prima di Cantor pareva un  infinito labirinto, dopo Cantor appare come un quadrante infinitamente esteso nelle sue dimensioni, ma in cui un rigoroso sentiero, infinitamente lungo riesce ad incontrare ogni frazione.
Ecco come Cantor percorre questo labirinto:

 

La linea a Zic Zac incontra tutti i numeri e la foresta incantata diventa un sentiero in cui gli alberi, si succedono l’un l’altro secondo una successione:

1 , 1/2 , 2 , 3 , 2/2 , 1/3 .......

i cui membri possono essere posti in corrispondenza biunivoca  col sentiero dei numeri interi:

1   2     3   4   5   6......

Il successivo infinito da affrontare é il continuo: l'infinito di tutti i numeri razionali e irrazionali, quello dei punti sulla retta, quello dei paradossi di Zenone, un vero abisso.

La potenza (numero cardinale) di questo insieme è pari o superiore a quella dei razionali? Ancora una volta l'ingegner Cantor edifica una delle sue ordinate costruzioni, allineando verticalmente una infinità di numeri ciascuno con infinite cifre decimali.

 

0,26543....

0,43567....

0,56243....

0,............

Questo elenco, che è infinito, contiene tutti i numeri? Se li contiene il continuo avrà la stessa potenza dei razionali se non li contiene sarà un infinito più potente (di cardinalità superiore) ai precedenti.
Cantor risolve l’enigma indicando il metodo per costruire un numero sicuramente non compreso nella lista. Questo numero avrà la sua prima cifra diversa dalla prima del primo numero, la seconda diversa dalla seconda del secondo, la terza diversa dalla terza del terzo e così via all'infinito.
Il numero 0,545... , uno degli infiniti numeri costruibili con questo sistema, non è sicuramente compreso nell’elenco.

Questi nuovi numeri ci dimostrano che nella babele degli infiniti già classificati, il continuo è il più potente. Con questo risultato ci si è però appena addentrati nel cuore di quel problema, che sta nel mettere ordine nei tipi di infiniti. Quanti sono? Sono ordinabili? Se lo sono quali posizioni occupano l’infinito numerabile dei naturali e quello non numerabile del continuo?
Senza addentrarci nei procedimenti di Cantor per dare risposta a queste domande, rileviamo solo che una risposta la dà dimostrando che dato un qualsiasi insieme I l’insieme potenza risultante dalla riunione di tutti i suoi sottoinsiemi ha una cardinalità superiore a I. Nell'infinita gerarchia degli insiemi infiniti che Cantor costruisce e indica con ALEPH 0, ALEPH 1, ALEPH 2 ..e così via, se l'insieme dei naturali corrisponde ad ALEPH 0, l'insieme del continuo a quale ALEPH corrisponde?
Cantor si affanna, ma non trova una risposta a questo enigma che si trascinerà irrisolto per circa un secolo e che, quando troverà una risposta, ne troverà due che, in certo senso, sono in contraddizione: dato un sistema coerente di assiomi per l’aritmetica (sistema di Zermelo), dapprima Goedel ha dimostrato che l’ipotesi del continuo (quella che pone la cardinalità del continuo pari a ALEPH 1) è coerente con quel sistema, mentre successivamente Cohen ha dimostrato che anche la negazione dell’ipotesi del continuo è coerente con quel sistema.
L’edificio di Cantor ebbe fra i matematici appassionati ammiratori e tenaci detrattori: per alcuni, tra cui Hilbert era un paradiso, per altri, tra cui Kroneker e Poincarè, un palazzo di orrori, un colosso dai piedi di argilla, quasi una truffa, per altri ancora, tra cui Herman Weyl una fonte di esaltazioni e di dubbi, quasi una moderna torre di Babele.
Dopo Cantor la matematica non poté più essere la stessa. L'illimitata serie degli Aleph era stata ottenuta con un procedimento dimostrativo non costruttivo e coloro, che in essa videro un parto mostruoso e fantastico, puntarono il loro dito accusatore su quella dimostrazione. (*)In realtà era l'essenza stessa del ragionamento matematico che vacillava. Quando si afferma che questo tipo o quel tipo di inferenza o concettualità non sono di tipo matematico, si pone la domanda su quali siano le entità accettabili in matematica e quali siano i ragionamenti corretti, quali i criteri per giudicare di questi e di quelli. Questa domanda sulle entità e sui tipi di inferenza è tanto più inquietante perchè coinvolge e nasconde l'antico e irrisolto enigma ontologico su ciò che c’è in matematica e su cosa sia la matematica. La matematica è una scienza di scoperta o d’invenzione? Se è una costruzione come dobbiamo costruirla?

Borges pone Zenone e Kafka fra i creatori di labirinti, e Cantor fra i risolutori di quegli labirinti. E’ più probabile che Cantor appartenga sia agli uni che agli altri. In lui convissero il mistico che lo attirò nei labirinti dell'infinito ed il razionale che lo spinse a ordinarli. Sia Cantor che Dedekind fecero un uso intenso degli insiemi, ma mentre il secondo lo vedeva come un sacco di oggetti, il primo lo vedeva come un abisso.
Cantor pensava di essere solo un descrittore di quel mondo che solo l'infinita grandezza di Dio aveva creato. Per se stesso aveva riservato unicamente il merito di un'attenta lettura. Altri vi videro non una lettura fedele, ma una grandiosa ed onirica costruzione che qualcuno paragonò alla creazione del Kublai Khan di Coleridge. In questi diversi atteggiamento rivivono le opposte ontologie del realismo platonico e del nominalismo aristotelico.
Si è già detto che per Kronecher, potente professore a Berlino, l’edificio di Cantor non era che un indominabile marchingegno per la creazione di mostri.Nella sua lotta contro Cantor, Kroneker fu impietoso. La sua vittoria fu pressoché totale. Le idee di Cantor, furono bollate dal mondo accademico come eretiche e errate. La sconfitta di Cantor, fu così cocente da indurlo alla più cupa depressione e al suicidio. Il contrasto fra i due fu, oltre che personale, uno scontro tra due ideali, tra due interpretazioni del mondo e della matematica.
Borges nel suo L’usignolo di Keats, ricordando come, secondo Coleridge, gli uomini nascano aristotelici o platonici, commenta:

“ Gli ultimi sentono che le classi, gli ordini e i generi sono realtà; i primi che sono generalizzazioni; per questi, il linguaggio non è altro che un approssimativo gioco di simboli; per quelli è la mappa dell’universo.

Attraverso le latitudini e le epoche, i due antagonisti immortali cambiano di lingua e di nome: uno è Parmenide, Spinoza, Kant, Bradley; l’altro, Eraclito, Aristotele, Locke, Hume, William James.”
Coleridge e Borges avrebbero interpretato il caso Cantor-Kroneker, non come uno scontro fra quei caratteri singolari che furono Cantor e Kroneker, ma piuttosto come un episodio della guerra eterna che oppone la concettualità aristotelica a quella platonica, in loro incarnate.
In effetti, i grandi oppositori di Cantor, come Poincarè, Kroneker, Weyl e Brouwer, erano gli esponenti di una maniera nominalista di far matematica che in precedenza aveva annoverato fra i suoi credenti anche il grande Gauss.
Rivive nei seguaci di Cantor e nei suoi detrattori l'antico contrasto fra realismo e nominalismo, fra aristotelici e platonici, fra una concezione costruttivista e una descrittiva della matematica, un contrasto che in qual che modo impregna di se tutta la storia del pensiero in generale e che, dopo Cantor, emerge in maniera esplicita e consapevole anche in quella matematica, che molti suoi cultori ritenevano al sicuro da ogni corruzione filosofica.

La dimostrazione che Cantor aveva posto a base dell'esistenza dell'infinita serie degli Aleph non era costruttiva. Per tutti i matematici che, in una qualche maniera credono, in un universo in cui numeri classi e relazioni esistono, l'obiezione contro l'uso delle dimostrazioni non costruttive era irrilevante. Per gli altri, che vedono i numeri e le infinite geometrie come costruzioni, i procedimenti non costruttivi erano almeno sospetti. Mentre per i primi il mondo di Cantor è quasi irrefutabile per i secondi è possibile l'alternativa dell'accettazione o del rifiuto.
Ciò che li divideva erano gli insiemi infiniti. Ha senso parlare di infinito attuale in aritmetica o l’unico infinito ammissibile è quello potenziale? Come influisce nel ragionamento matematico e nei suoi risultati la risposta a questa domanda? La questione, non era solo di principio, ma coinvolgeva piani concettuali diversi e distinti che complicavano e articolavano enormemente l’ambito di ciò che si doveva considerare matematica.
Ritorniamo ora a Kroneker citando un brano fra tanti in cui espone le sue preoccupazioni:

“ Senza le ipotesi qui discusse più da vicino cioè senza la possibilità di potere fin da principio sostituire sistemi di moduli con infiniti elementi con sistemi di moduli con un numero finito di elementi, il concetto di sistemi di moduli con infiniti elementi non è applicabile. Se tuttavia lo si vuole proprio ammettere come una costruzione concettuale puramente logica, ciò deve accadere solo con la riserva che nelle particolari applicazioni aritmetiche di questo concetto, non sufficientemente precisato aritmeticamente, si dia in ogni singolo caso la dimostrazione che quelle ipotesi sono soddisfatte.[iv].”

La tesi da cui è riportato il brano citato è che si possono innalzare tutte le costruzioni che si vogliono, finite o infinite, ma che è pur sempre necessario dimostrare che in queste strutture i numeri riescono ad abitare. Il problema di Kroneker è duplice: da un lato è un problema d’esistenza: se esistano entità che soddisfino quelle strutture; dall’altro è un problema d’interpretazione: se queste entità siano effettivamente riconducibili a quei numeri naturali che Dio ha donato agli uomini. Kroneker. Questo era infatti il suo pensiero: che tutta la matematica costruzione umana eretta a partire dai numeri naturali. donati da Dio agli uomini. Un dono minimo quindi, ma completo, necessario e sufficiente per costruire tutto l’edificio matematico. 
Forse in Kroneker agiva la suggestione della finitezza dell’uomo di fronte all’infinità di Dio. L’uomo non è Dio. Il pensiero di poter dominare “sistemi di moduli infiniti” non poteva che essere una superba un’illusione destinata al fallimento. 
Le preoccupazioni espresse da Kronecher inaugurarono una linea di pensiero che successivamente si dichiarò predicativista. L’intuizionismo inaugurato da Brouwer fu la corrente di pensiero che seppe trarre tutte le dovute conseguenze del pensiero predicativista.

E’ naturale che i predicativisti accettassero solo infinità numerabili (e quindi dominabili) e che comunque ogni passaggio costitutivo di enti dovesse avvenire con definizioni non ambigue. Chiamate in causa erano soprattutto quelle espressioni ambigue per eccellenza contenenti o il quantificatore universale "Tutti i...” o il quantificatore esistenziale “Esiste almeno un...”.
I quantificatori furono introdotti in logica da Frege e la loro interpretazione divenne subito un’ossessione. Frege e Russell, in coerenza con la fede platonico-realista di entrambi, li usarono con disinvoltura, senza porsi alcun drammatico interrogativi. 
Per Frege e per Russell le espressioni con quantificatori erano "vere" proposizioni munite di senso riguardo alle quali si poteva, almeno in linea di principio, poter giudicare circa la loro "verità" o la loro "falsità". Questa convinzione era osteggiata dai predicativisti. Sia Brouwer sia Hilbert sia Weyl negavano a queste espressioni lo statuto di proposizioni.
Che senso possiamo dare, sosteneva Weyl, ad espressioni del tipo "Esiste un x tale che..." quando non disponiamo di una procedura per produrre questo esemplare di cui affermiamo l'esistenza e di cui, quindi non sappiamo come possa essere costruito o, addirittura, se sia costruibile? "Se la conoscenza è un tesoro", dice Weyl, “la proposizione esistenziale è un documento che ci attesta l'esistenza del tesoro, ma non ci dice dove trovarlo"[v]. Il che è come dire che è insensato asserire che quel tal numero se non si sa come costruirlo.
Brouwer, assai più radicalmente, negò validità incondizionata al principio del terzo escluso. A proposito del numero  ha senso chiedersi se sia razionale o irrazionale? Brouwer lo escludeva: visto che il numero  non può essere costruito.

In definitiva, come sintetizza Casari[vi]:

Il realista secondo i suoi avversari parla di tutti i numeri reali come se parlasse di tutti i numeri naturali e parla di tutti i numeri naturali come se parlasse di tutti i suoi libri; in realtà quei tre “tutti” hanno valori assai diversi [...] mentre l’intuizionista rifiuta ogni analogia fra i tre, il predicativista accetta tutto sommato questa analogia per gli ultimi due e la rifiuta solo per quanto riguarda il primo caso.”

A questo punto è inevitabile interrogarsi sulle conseguenze. Cambia l’estensione della matematica al variare di queste concezioni? Dobbiamo forse rinunciare ai paradisi cantoriani? Prima di rispondere a queste domande è opportuno tornare indietro, addirittura a Leibniz.
Con Leibniz prende corpo l’idea di una logica come calcolo completo, universalmente applicabile e in grado di decidere al sì o al no qualsiasi problema; una volta perfezionato, dice Leibniz, “ gli uomini di buona volontà, desiderosi di appianare una controversia su qualunque questione, impugneranno la penna e diranno: Calcolumus”[vii].
Se i sogni di Leibniz avessero avuto successo avremmo veramente come risultato minimale una logica e una matematica meccaniche. Per fortuna era solo un sogno.
Fu Boole ad elaborare per primo un calcolo logico interpretabile come calcolo di classi o di proposizioni e furono Dedekind, Cantor e, soprattutto, Frege a dar corpo a un programma logicista
L’Analisi aveva ottenuto un grandioso sviluppo, ma i suoi successi erano “contaminati” dall’incomprensibile e oscura irrazionalità di quegli “infinitesimi” che costituivano la sua base concettuale. La situazione era così disastrosa, che fu facile, anche per un non addetto ai lavori come il vescovo Berkeley, provocato dall’astronomo Halley “sull’inconcepibilità delle dottrine cristiane” ritorcere quelle stesse accuse contro il celebrato Calcolo, rispondere:

Chiederò per me il privilegio del Libro Pensatore e mi prenderò la libertà di ricercare sull’oggetto, sui principi, e sul metodo di dimostrazione ammessi dai matematici del tempo presente, con la stessa disinvoltura con cui voi presumete di trattare i principi e i misteri della religione.

E dopo questo esordio, passare subito al punto dolente del concetto di infinitesimo. Che senso ha affermare che 9,8 + 4,9dt è la stessa cosa che 9,8? "O 4,9dt è qualcosa o è nulla se è nulla tutto il calcolo salta se è qualcosa le due espressioni non sono uguali. Forse i matematici intendono che 4,9dt è così piccolo da essere trascurabile?"Si chiede Berkeley. Ma se è questo che intendono dove va a finire quel rigore inflessibile che li inorgoglisce e che li induce a sostenere che in rebus mathematicis errores quam minimi non sunt contemnendi? Insomma conclude Berkeley nessuna dottrina teologica è così razionalmente oscura e inconsistente come queste teorie matematiche. Se la teologia richiede la fede perchè è inconcepibile, allora che dire delle teorie dei matematici?"

Con Cauchy e Weierstrass l’analisi matematica, mediante il concetto di limite che permise l’eliminazione dell’oscuro concetto di infinitesimo, cominciò ad emanciparsi dalla fisica, dalla geometria e dalla meccanica, diventando calcolo a sè.
La fondazione dell’analisi su concetti aritmetici portò con se la convinzione che tutta la matematica fosse un corpo unico fondato, come Kroneker riteneva, sull’aritmetica. A questa grandiosa opera di unificazione e riduzione contribuirono soprattutto Peano e Dedekind che pervennero a risultati pressoché equivalenti.
Peano ricostruì la matematica su tre idee primitive ( Zero, numero, successore) e sui seguenti cinque postulati:

1. 0 è un numero,

2. il successore di un numero è un numero,

3. Due numeri non hanno lo stesso successore,

4. 0 non è il successore di alcun numero,

5. Qualsiasi proprietà che appartenga sia a 0 che al successore di qualsiasi numero che la possiede appartiene a tutti i numeri.

L’ultimo postulato è il principio d’induzione completa. Che la matematica dovesse fondarsi sul principio d’induzione era convinzione di tutti i matematici. Esso, indicando il regolare e illimitato succedersi dei numeri, garantisce che operazioni sui numeri, come la somma, abbiano sempre successo. 
L’opera di Peano poteva essere considerata un punto di approdo almeno per l’aritmetizzazione della matematica, ma mentre Peano lavorava alla riduzione della matematica all’aritmetica, Frege stava portando avanti il ben più ambizioso progetto di fondare l’aritmetica sulla logica.
Frege riteneva che quei numeri di cui Peano aveva assiomatizzato i comportamenti, ponendoli come concetti primitivi, fossero in realtà già costruzioni logiche. 
 In questa convinzione era confortato anche dal fatto che gli assiomi di Peano definivano sì la serie dei numeri naturali, ma anche altre serie. Non solo quegli assiomi erano insufficienti a delimitare il concetto di numero, ma come venne dimostrato, nessuna serie di assiomi è in grado di definire la serie dei numeri naturali e solo quella. In pratica si può stringere quanto si vuole, ma non si saprà mai con precisione dire di cosa si sta parlando.
Il problema di Frege era quello di dare una definizione logica dei numeri. “Cos’è un numero?” si chiede Frege. Quando si parla di quattro cavalli bianchi, il senso di “quattro” e lo stesso del senso di “bianco”? Evidentemente no, risponde Frege. Il predicato ”bianco” si riferisce ad ogni singolo cavallo, ma non il termine “quattro”. Ha senso parlare di un gruppo di “quattro” cavalli. Di ogni cavallo diciamo sensatamente che è bianco e insensatamente che è “quattro”, del gruppo diciamo che è un quartetto e di ogni cavallo che è bianco. “Quattro” si riferisce non distributivamente a oggetti di un gruppo, ma al gruppo, anzi a tutti i quartetti. E’ ciò che tutti i quartetti hanno in comune.Di questo passo Frege perviene alla definizione di numero cardinale come “classe di classi equipotenti”[viii]. Il numero cardinale 0 diviene così la classe di tutte le classi per cui vale x¹x , l’1 la classe di tutte le classi equipotenti alla classe con unico membro lo 0  e così via. Queste definizioni paiono circolari perchè per definire un numero si deve citare il numero stesso, ma non è così per quanto è già stato detto circa il concetto di corrispondenza biunivoca. 
La costruzione della matematica con concetti logici che incorpora la costruzione di Cantor, dovuta a Frege ( Russell giunse in seguito e indipendentemente alle stesse conclusioni ) fu accolta con qualche entusiasmo e molte perplessità.
L’impianto filosofico di Frege e Russell era palesemente platonico-realista. Non stupisce, quindi, che non potesse essere accettata dai costruttivisti. L’ostilità era diretta, in primo luogo contro il tipo di impianto filosofico, in secondo luogo contro l’idea di ridurre la matematica alla logica e infine contro l’idea stessa di fondare la matematica All’opposizione Realismo/ predicativismo di sovrapponevano quella tra logicismo e antilogicismo e quella fra fondazionismo e antifondazionismo. Ai logicisti si opponevano i formalisti e a entrambi tutti coloro che in una matematica formalizzata, fondata e irreggimentata vedevano una matematica morta. Sul generarsi e sul’agguerrirsi consapevole di queste diversità Russell nel 1903 s’imbatté nell’antinomia che porta il suo nome.
Una classe è propria quando non contiene se stessa come membro, impropria nel caso contrario. La classe di tutte le classi proprie è propria o impropria? Se è propria non contiene se stessa come membro e quindi non contiene tutte le classi proprie, se è impropria allora contiene se stessa e quindi contiene una classe impropria come membro e, quindi, non è la classe di tutte le classi proprie. Questa è l’antinomia di Russell. Dopo questa ne furono scoperte o riscoperte altre sette o otto. Una di questa è quella celeberrima del bugiardo la cui prima versione risale forse a Eulibide vissuto all’inizio del V I secolo A. C. è che si può condensare nell’enunciato:
“Io sono bugiardo”
E’ vera o falsa questa proposizione? Se si suppone che sia vera si conclude che è falsa, se la si suppone falsa si conclude che è vera. La sua antinomicità sta proprio in quell’essere falsa se vera e vera se falsa.

L’antinomia disturbò fin dall’antichità i sonni di molti pensatori. Teofrasto scrisse tre libri sull’argomento e Crisippo molti di più; forse ventotto. Quanto grande fosse il numero di persone che presero a cuore il problema in quel periodo lo si può desumere dal fatto che un logico, Filita di Coo (285 a.C.), morì per causa sua: “Viandante io sono Filita; l’argomento chiamato il Mentitore e le profonde meditazioni notturne mi condussero alla morte”.
Quando Frege ricevette la lettera di Russell che gli comunicava la scoperta dell’antinomia, stava per pubblicare il secondo volume dei suoi Grundgesezte. In appendice riportò la comunicazione di Russell con un commento che inizia con queste riflessioni:

“ Difficilmente ad un autore d’opere scientifiche può accadere qualcosa di più ingrato che vedere scosso uno dei fondamenti del suo edificio dopo che il lavoro è finito. [.....] Il fatto che “tutti coloro che, nelle loro dimostrazioni, abbiano fatto uso d’estensioni di concetti, di classi, di insiemi, sono nella mia stessa condizione”

L’antinomia fu considerata una catastrofe, perchè da una contraddizione si può inferire qualsiasi proposizione. A suo modo un’antinomia è quindi un orrore generatore di orrori che demolisce la teoria entro la quale viene generata.
Se per i logicisti la scoperta fu una catastrofe, per molti loro avversari fu appena una prova della loro follia: Poincarè scese dall’empireo dei suoi calcoli differenziali, per sottolineare che l’antinomia era il giusto castigo per coloro che avevano creduto nell’infinito attuale: “Non esiste l’infinito attuale, sentenziò, I cantoriani l’hanno dimenticato e sono caduti nella contraddizione.”[ix] Era difficile sostenere che l’antinomia del mentitore fosse dovuta all’infinito attuale, ma in generale i critici di Cantor avevano ragione, la sua concezione degli insiemi era troppo ingenua.
Quei veri e propri buchi neri delle antinomie furono visti da alcuni (predicativisti come Poincarè, intuizionisti come Brouwer) come l’occasione per condannare agli inferi tutta la barocca e infernale costruzione cantoriana mentre da altri come ostacoli che, mettendo in pericolo l’integrità dell’analisi, dovevano a tutti i costi essere superati. Sulle cause e sui rimedi il disaccordo era, però, profondo.
Negli anni successivi (nel 1908 o poco prima) furono presentati diversi tentativi di soluzione di Brouwer, di Zermelo e di Russell. Queste proposte erano naturalmente determinate dal tipo di “vizio” individuato. I concettualisti, in generale, individuarono il “vizio” nelle definizioni impredicative, i realisti nel principio di comprensione.

La teoria di Zermelo

La soluzione di Zermelo partiva dalla constatazione che nella pratica matematica le antinomie non comparivano. La soluzione doveva quindi essere trovata analizzando i metodi effettivamente usati in matematica dove la costituzione di insiemi avveniva partendo da elementi di insiemi già esistenti. Responsabile di generare gli insiemi “indesiderati” era dunque il principio di comprensione. Secondo questo principio dato un predicato 1) è dato l’insieme composto da quegli enti che godono di quel predicato e 2) questo insieme è, a sua volta, un ente. L’assioma di costituzione proposto da Zermelo mantiene il principio, secondo cui un predicato genera un insieme, ma prescrive che l’ambito degli elementi su cui agisce il predicato sia limitato agli elementi di un insieme già formato[x].
Zermelo presentò la sua teoria come sistema assiomatico. Anche Euclide aveva presentato la sua geometria come un sistema questo tipo. La geometria veniva organizzata su enti primitivi come il punto, la retta, ecc., su un sistema di assiomi che parlavano di questi enti, delle loro proprietà, dei loro rapporti e su un sistema di teoremi dimostrati a partire da questi assiomi[xi].
Nel 1900 Hilbert aveva pubblicato i suoi Fondamenti di Geometria in cui aveva gettato le basi dell’assiomatica moderna. Il testo si dimostrò così importante da essere tradotto praticamente in tutte le lingue[xii]. In esso:
1.     La geometria viene presentata come disciplina ipotetico-deduttiva su un piano formale e sintattico. Gli assiomi non descrivono i tradizionali enti geometrici ( retta, punto ecc.). Parlano di enti, ma questi non hanno altra caratteristica che quella di soddisfare gli assiomi. Il contatto con la realtà viene completamente reciso.
2.     Gli assiomi non vengono presentati come veri, autoevidenti ecc. e quindi coerenti. Il ragionamento viene invertito: “Se assiomi arbitrariamente stabiliti -dichiara Hilbert - non sono in contraddizione, con tutte le loro conseguenze, allora essi sono veri, allora esistono gli enti definiti per mezzo di quegli assiomi. Questo è per me il criterio della verità e dell’evidenza.”

 La concezione assiomatica di Hilbert considerava quindi l’edificio matematico su due livelli. Il primo livello era puramente formale e sintattico. I numeri erano segni sulla carta, senza alcuna interpretazione, la cui manipolazione obbediva a leggi puramente formali. Gli assiomi parlavano di enti e le regole di inferenza trasformavano gli assiomi in teoremi senza dare al sistema alcuna interpretazione. Il secondo livello, Metamatematico, era il luogo dell’assegnazione dei significati. Solo a questo livello Hilbert ritenne che le raccomandazioni dei predicativisti e degli intuizionisti fossero fondate e che le dimostrazioni dovessero essere costruttive. 

 La soluzione di Russell

Poincarè, nel suo acceso dibattito con Russell, aveva suggerito che l’origine delle antinomie fosse da ricercare nelle definizioni “impredicative”, che per definire un oggetto dovevano riferirsi a un insieme di cui l’oggetto stesso era un elemento. Che mostruosità logica è una definizione che per definire A deve presupporre l’esistenza di un insieme che contiene A, e quindi lo stesso A?
Russell incredibilmente accettò il suggerimento di Poincarè, che, manco a dirlo, poneva, implicitamente, restrizioni all’uso dei quantificatori. Ho detto “incredibilmente” considerando l’ontologia platonizzante di Russell, poiché è ovvio che  da un punto di vista realista le definizioni impredicative sono assolutamente accettabili[xiii].
I Principia di Russell, furono praticamente l’ultimo tentativo di presentare la matematica come sistema logico. Russell li presentò come una teoria ramificata di ordini e tipi, che, però, viene usualmente illustrata come una sovrapposizione[xiv] di una teoria dei tipi e di una teoria degli ordini.

La teoria dei tipi prevede un ordinamento gerarchico. Al tipo uno appartengono gli individui, al tipo due gli insiemi d’individui appartengono, al tipo tre gli insiemi di insiemi di insiemi e così via. Non sono considerati ben formati insiemi che riuniscano oggetti di tipo diverso né proposizioni che dichiarano l’appartenenza di oggetti di un certo tipo a insiemi che non siano di tipo immediatamente superiore.
La teoria dei tipi non risolve tutte le antinomie. Per ottenere questo risultato Russell dovette introdurre la gerarchia degli ordini sulle espressioni quantificate, per vietare i circoli viziosi delle definizioni impredicative.
Il sistema di Russell[xv] con la doppia geometria degli ordini e dei tipi, oltre che essere incredibilmente complicato, 1) non permetteva la ricostruzione di ampie porzione dell’aritmetica e dell’analisi e 2) generava una incredibile proliferazione di enti e di numeri: non più il sistema dei numeri, ma infiniti sistemi di numeri tanti quanti i tipi.
Per salvare l’analisi Russell fu costretto ad introdurre un assioma, quello di riducibilità, estraneo alla logica. Di queste anomalie Russell era ben consapevole, ma non volle mai abbandonare il suo sistema che, nel suo doppio impianto gerarchico oggettuale e concettuale, gli appariva come l’unico “naturale”.
Di fatto, con l’assioma di riducibilità, Russell si aggrappava letteralmente sui vetri per non perdere il paradiso di Cantor. Altri concettualisti non si piegarono a simili compromessi. Condannate le definizioni impredicative non restava che accettarne le conseguenze, come fece Weyl nel suo Das Kontinuum:

“Qui si sostiene piuttosto l’idea che quell’edificio è per gran parte costruito sulla sabbia. Io credo di poter sostituire questa base ondeggiante con sostegni di ragionevole solidità; questi non possono reggere tutto ciò che oggi viene generalmente ritenuto sicuro; quanto resta lo abbandono, perchè non vedo alcuna altra possibilità.

Il sistema di Weyl che, come Poincarè considera come primitiva l’intuizione della serie dei numeri naturali, ha una costruzione gerarchica in cui procede per processi di tipo combinatorio (logico) e creativo (matematico). Senza dilungarci si può semplificare la descrizione del sistema di Weyl dicendo che essa presenta due sistemi di cui uno equivalente a quella dei Principia senza assioma di riducibilità.
Le conseguenze sono una consapevole rinuncia a una gran parte dell’analisi, una rinuncia, per Weyl dolorosa, ma necessaria, se si accettano solo costruzioni completamente dominabili. 

Le teorie di Wittgenstein

Non tutti i pensatori giudicarono necessario che la matematica avesse un fondamento.
Il Wittgenstein del dopo Tractatus giudicava la preoccupazione per le antinomie come una malattia, un permaloso virus da cui si poteva guarire, ma che era meglio evitare. Il suo atteggiamento si potrebbe presentare come la raccomandazione di evitarlo riempiendo tutti i libri di logica di cartelli disposti nei punti cruciali con la scritta: STOP ANTINOMIA.
Le sue Osservazioni sopra i fondamenti della matematica sono una successione di pensieri, esempi, impressioni scritti in periodi diversi in preparazione, forse, di un saggio che non fu mai scritto. Un filo conduttore però c'è ed è diretto contro ogni pretesa di dare un fondamento o un impianto unitario alla matematica. Anche se talvolta il suo discorso ricalca il pensiero finitista o intuizionista, Wittgenstein. è, in effetti, lontano da ogni teorizzazione. Sembra quasi che la sua profonda avversione per ogni dottrina, per ogni teoria che sarebbe, in ogni caso, "una" (sola) teoria sul "mondo" lo metta in guardia dall'esprimere una sua teoria. Tutto il trattato è un’ossessionante esposizione di esempi portati a confutazione del principio di estensionalità: per Wittgenstein il pensiero secondo il quale concetti con uguale estensione sono intercambiabili, è una malattia della filosofia. Se i Principia rappresentano, in matematica, l'estremo riduzionismo gli sparsi pensieri di Wittgenstein. rappresentano l'antiriduzionismo estremo, che si manifesta come opposizione a ogni unità di significato in matematica.
Per Wittgenstein il numero 60 non è lo stesso che il numero 6x10 (la pratica della vita lo testimonia: si può essere capaci di fare sei mucchietti da dieci o dieci da sei senza saper contare fino a 60), la retta popolata da numeri non rappresenta la potenza del continuo, il calcolo letterale è irriducibile a quello numerico, il calcolo nella notazione decimale è altra cosa rispetto a quello eseguito con bastoncini. Tutto il riduzionismo si basa sulla perdita d'identità, sul camuffamento: "... se li avvolgiamo in una quantità sufficiente di carta, tavoli, sedie, sbarre, alla fine, ci sembrano sfere" (2.52). Possiamo assimilare fra loro numeri diversi, ma solo al prezzo camuffarli, di perdere qualcosa (ad esempio la loro coordinazione nelle varie notazioni posizionali.
Al più Wittgenstein sarebbe disposto ad ammettere che i numeri dei Principia, all'interno dell’orizzonte teorico dei Principia, si comportano più o meno come gli altri tipi di numeri all'interno dei rispettivi orizzonti teorici: i numeri dei Principia, non sono quelli di Peano, non sono quelli dell'abaco e neppure quelli di Kroneker.

Verità Logiche

Finora non si è parlato né di verità logiche né di verità matematiche.Benché gli stessi fondatori del logicismo Frege e Russell sostenessero l’identità di matematica e logica, come lo stesso Russell dichiarò nel 1919 ( Introduzione alla Filosofia Matematica) non avevano nessuna chiara idea sul concetto di verità logica:

Pur non potendoci più accontentare di definire gli enunciati logici come enunciati derivanti dalla legge di contraddizione, possiamo e dobbiamo ammettere che essi sono una classe di enunciati del tutto differenti da quelli che apprendiamo empiricamente. Essi hanno una tutti una caratteristica che poco fa abbiamo convenuto di chiamare “tautologica”.

Mentre in nota aggiunge:

L’importanza della tautologia per una definizione matematica mi fu fatta rilevare dal mio primo allievo Ludwig Wittgenstein, che lavorava intorno a questo problema. Non so se lo abbia risolto e neppure se sia vivo o morto.

Wittgenstein era ben vivo e aveva risolto il problema. Non solo lo aveva risolto, ma con il metodo delle tavole di verità aveva fornito un sistema di decisione.
Con la teoria di Wittgenstein si giunge a un punto cruciale, poiché mai come in questa occasione si giunse tanto vicino alla possibilità di trasformare logica e matematica in quella scienza, automatica, cieca e acefala quale i suoi detrattori volevano farla apparire.
La tesi di Wittgenstein, esposta nel Tractatus, sostiene che i connettivi logici vengono completamente identificati dalle loro tavole di verità. Per l’OR, ad esempio, si ha la tavola

 

p

q

p V q

F

F

F

F

V

V

V

V

V

V

F

V

 

Con le tavole di verità si giunge al concetto di Tautologia. Fra tutte le possibili proposizioni due sono assolutamente speciali: la tautologia e la contraddizione. La tautologia è sempre vera indipendentemente dal fatto che le proposizioni che la compongono siano vere o false, la contraddizione sempre falsa.
Una tautologia è, ad esempio, la proposizione: “piove o non piove” che è sempre vera indipendentemente dal fatto che piova o no. Wittgenstein fornì, come sotto indicato, una procedura meccanica per riconoscere le tautologie con le tavole di verità.

 

piove

NONpiove

piove O NONpiove

V

F

V

F

V

V

 

Wittgenstein dimostrò che per il calcolo proposizionale tutte le verità logiche sono tautologie.

Russell aveva posto a base del suo calcolo come assiomi le proposizioni:

1.(pVp)Ép  2.qÉ(pVq)   3.(pVq) É(qVp)    4.(pV(qVr)) É(qV(pvr)

5.(q Ér) É((pvq) É(pVr))

Per Russell esse erano “autoevidenti” o “evidentemente vere”, Wittgenstein dimostrò che erano tautologie come del resto tutti i teoremi da queste dedotti.
Il Tractatus dichiarava tautologie le verità logiche, ma negava  che tali fossero le verità matematiche. Russell, al contrario, si augurava che lo fossero, Ramsey tento senza successo di dimostrarlo. Dopo il tentativo di Ramsey l’idea fu abbandonata.
Del resto anche chi ha fatto esperienza di tentativi di dimostrazione sa bene che questo processo è molto lontano da ciò che si intende come procedimento meccanico.
Qualcuno potrebbe obiettare che una cosa è un’esperienza di ricerca di dimostrazione e altro è la dimostrazione, poiché questa, una volta portata a termine, si presenta come un logico concatenamento di inferenze di carattere tautologico.
Sappiamo però che non è vero. Già Kant aveva fatto osservare che matematica e geometria non potevano essere composte di quelli che lui chiamava giudizi analitici. Durante la dimostrazione il geometra introduce nuove linee, traccia parallele e così via. Nella dimostrazione vengono portati alla luce nuovi individui con operazioni di tipo intuitivo. Anche prendendo in considerazione, non la storia dell’elaborazione delle dimostrazioni, ma la sola catena di inferenze, che della dimostrazione costituiscono l’esposizione, l’emergere di nuovi individui sta lì a testimoniare il suo carattere non meccanico.
E’ vero come è stato fatto notare che questi nuovi individui vengono intuiti e poi fatti scomparire, ma, anche se ciò succede, il significato non cambia. Se gli individui intuiti permangono nella dimostrazione non possono essere considerati dei fantasmi.
La questione dei rapporti fra dimostrazione, analicità, intuizione di nuovi individui e stata attentamente analizzata da Jaakko Hintikka[xvi] che analizza il processo dimostrativo introducendo i concetti di tautologia di superficie e tautologia di profondità per tenere conto di questo emergere di individui.onclude Hintikka:

Troviamo negli scritti di E. Mach quella che è forse la più chiara formulazione che un’inferenza logica non ci dà nulla di nuovo... Egli dice: “ Ma se togliamo accuratamente dalla nostra idea (della conclusione) tutto ciò che entra in essa solo come contributo alla costruzione e alla esemplificazione e non per l’inferenza, non troviamo in tale idea nulla più che la proposizione di partenza.”  Il fatto che non vediamo immediatamente la conclusione nelle premesse sarebbe dovuto a una limitazione psicologica. Se, per così dire, potessimo osservare le premesse dal giusto punto di vista, vedremmo immediatamente la conclusione già nelle premesse. [...] nel passare dalle premesse alla conclusione dobbiamo spesso considerare individui che non sono menzionati né nelle premesse né nella conclusione, perchè il passaggio dalle premesse alla conclusione non può essere effettuato senza il ricorso a individui non considerati nelle premesse. Può essere che Dio non abbia bisogno di logica e che possa istantaneamente muovere dalle premesse alla conclusione; ma questo non è dovuto semplicemente alla sua libertà da ostacoli di natura psicologica, quanto piuttosto alla sua onnipotenza, che gli permette di introdurre istantaneamente tutti gli individui ausiliari, necessari nel corso della dimostrazione.

Il teorema di Skolem

Nel 1941 Skolem scopre un teorema paradossale che recita: se un sistema di espressioni possiede un modello esso ne possiede anche uno numerabile. Un esempio di conseguenza di questo sistema è che, a meno che la teoria ZF non sia contraddittoria, l’insieme potenza dell’insieme dei numeri naturali è e non è numerabile.
Lo stesso Skolem fornì un’interpretazione nello stesso tempo tranquillizzante e inquietante del paradosso; tranquillizzante perchè non è una nuova antinomia, inquietante perchè il paradosso si può interpretare come se nel linguaggio della teoria degli insiemi si dimostrasse la non esistenza di un certo insieme di cui dimostriamo l’esistenza nel metalinguaggio. Il che è come dire che esistenza o non esistenza di un insieme non è assoluta, ma dipende dal linguaggio con cui ne parliamo. Con un linguaggio possiamo affermare ciò che con un altro neghiamo e nessuno dei due è quello vero.
 In effetti, non pochi interpretarono il paradosso come la condanna del platonismo matematico. Il mondo dei concetti, delle teorie, delle parole ha ormai fatto irruzione nella realtà. Una realtà che, come dice Borges, “anelava a cedere”. Ma forse le cose non sono così semplici e prima o poi la complessità del problema avrà ragione della nostra ansia di trovare comunque una spiegazione che ci tranquillizzi.
Nel 1930 Goedel comunicò due inquietanti scoperte. La prima afferma che la coerenza di un sistema che comprende la teoria dei numeri non può essere dimostrata (Weyl commentò che Dio esiste perchè la matematica e coerente e il diavolo pure perchè questa coerenza non può essere dimostrata), la seconda che una qualsiasi teoria, che comprenda il sistema dei numeri, ha almeno un enunciato vero e non dimostrabile.
Nel 1940 sempre Goedel dimostrò il controverso assioma di scelta e l’ipotesi del continuo sono coerenti con il sistema di Zermelo, nel 1963 Paul J. Cohen dimostrò che i due assiomi sono indipendenti dal sistema di Zermelo. Tutto ciò significa che possiamo costruire nuovi e diversi sistemi matematici affermando o negando entrambi o uno dei due.
Cohen utilizzò nella sua costruzione una tecnica ( forcing )che ammette insiemi la cui conoscenza finita è in evoluzione, una tecnica che è parente del sistema di costruzione del continuo intuizionista. Nel frattempo A. Robinson, frugando nei modelli non standard, ne trovò uno in cui hanno piena cittadinanza gli screditati e dimenticati infinitesimi leibniziani. Successivamente Church avanza l’ipotesi che dal teorema di Goedel consegua che mai potrà esistere una macchina computante che risolva tutti i problemi matematici.
Anche il principio di coerenza è ormai coperto dal dubbio. In fondo l’offerta di logiche paraconsistenti o localmente inconsistenti testimoniano della necessità di superare quello che sarebbe solo un nostro disagio alla necessità di accettare contraddizioni locali. Neppure in matematica esiste un albero del sapere governato da una rigida coerenza in ogni suo luogo.
Con queste scoperte si dimostra, se mai ce n’era bisogno, che non si chiude né mai si chiuderà un cerchio di computabilità, di razionalità, di automaticità, di meccanicità in matematica e questa è una conclusione liberatoria.
Ma c’era bisogno di questi risultati per concludere in questo senso? Se questo breve e disordinato percorso nella storia, nei dubbi, nella moltiplicazione delle matematiche è stato minimamente chiaro, una simile conclusione è leggibile quasi in ogni paragrafo.

 

 

 



[i]Uso “assioma” anche per i postulati.

[iii]Gauss non doveva credere certamente alla sua autorità se, avendo lui stesso elaborato una geometria non euclidea (nel senso di Boylay), non la pubblicò perchè, come ebbe a dire, temeva le urla dei beoti.

[iv]Kroneker 1886 p. 155

[v]Weill

[vi]E.Casari, Questioni di filosofia matematica, Feltrinelli, 1964 p.139

[vii]La logique de Leibniz a cura di Couturat, 1901

[viii] L’espressione è dovuta a Russell.

[ix]Le paradoxes da la logique RdMedM 1906

[x]Con questa prescrizione si evitano le antinomie matematiche, per evitare quelle semantiche un altro assioma impone altre limitazioni.

[xi]Per semplicità non si distingue fra assiomi e postulati

[xiii]Qui forse la semplificazione è eccessiva  tra il platonismo ingenuo e il predicativismo sono possibile una varietà incredibili di posizioni. Di fatto Russell, che ancora al tempo dei Principles aveva affermato che la matematica descrive i suoi oggetti matematici come la zoologia descrive gli animali, rinunciò al realismo per salvare il logicismo I Principia sono dunque un sistema concettualista in cui gli enti vengono non scoperti, ma costituiti.

[xiv]Il termine non è appropriato, ma rende l’idea

[xv]Russell giudicava più o meno come una truffa presentare la matematica come un sistema assiomatico.  A prima vista sembrerebbe che il sistema di Zermelo non preveda gerarchie, ma anche in questo caso di fatto gli insiemi sono gerarchizzati secondo “ranghi” che corrispondono ai tipi di Russell purchè li si intenda come tipi cumulativi.

 

[xvi]J. Hintikka, Logica, giochi linguistici e informazione

 

 

Sito web gratis da Beepworld
 
L'autore di questa pagina è responsabile per il contenuto in modo esclusivo!
Per contattarlo utilizza questo form!